Lectura hoy:

Hasta ahora

• asociación entre variables continuas / correlación (Unidad 1)

• inferencia para diferencias y asociaciones (Unidad 2)

Escalas de medición de variables

• NOIR: Nominal, Ordinal, Intervalar, Razón

Tipos de datos en relación a escalas de medición.

• Datos categóricos:

  • pueden ser medidos sólo mediante escalas nominales, u ordinales en caso de orden de rango

• Datos continuos:

  • Medidos en escalas intervalares o de razón
  • Pueden ser transformados a datos categóricos

Tablas de contingencia o tablas cruzadas

Tablas de contingencia y asociación

Ejemplo

Pensemos en la siguiente pregunta de investigación:

¿Existe una asociación entre la percepción de ser discriminado y el nivel educacional?

Ha$H_a$: el nivel educacional se asocia a la percepción de ser discriminado

H0$H_0$: no hay asociación entre nivel educacional y percepción de ser discriminado

Generar subset CASEN con educación y percepción de discriminación

pacman::p_load(haven, sjmisc, dplyr)
casen2022_chi <- read_dta("/home/juank/Downloads/Base de datos Casen 2022 STATA.dta")
summary(casen2022$r9)
sjmisc::find_var(data = casen2022_chi,"discriminado")
sjmisc::find_var(data = casen2022_chi,"nivel educacional")
casen2022_chi <- casen2022_chi %>% 
  select(r9a:r9t, e6a)  # seleccionar variables
casen2022_chi <- casen2022_chi %>% 
  rename("educacion"=e6a) #renombrar 
save(casen2022_chi, 
     file = "slides/data/casen2022_chi.Rdata") #guardar objeto
rm(list = c('casen2022_chi')) # quitar del environment por tamaño/memoria

Recodificar discriminación

load("data/casen2022_chi.Rdata")
frq(casen2022_chi$r9t)

r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.83 sd=0.37
Value | Label |      N | Raw % | Valid % | Cum. %
-------------------------------------------------
    0 |    No |  33472 | 16.55 |   16.55 |  16.55
    1 |    Sí | 168759 | 83.45 |   83.45 | 100.00
 <NA> |  <NA> |      0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

• En la lista CASEN al final hay una item de "no ha sido discriminado" (r9t), que usaremos para nuestro análisis; la renombramos "discrim"

• Quienes responden si son quienes no se han sentido discriminados, por lo tanto mejor cambiar las etiquetas para evitar confusiones

casen2022_chi$discrim <- sjlabelled::set_labels(casen2022_chi$r9t,
            labels=c( "discriminad@"=0,
                      "no discriminad@"=1))

frq(casen2022_chi$discrim)

r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.83 sd=0.37
Value |           Label |      N | Raw % | Valid % | Cum. %
-----------------------------------------------------------
    0 |    discriminad@ |  33472 | 16.55 |   16.55 |  16.55
    1 | no discriminad@ | 168759 | 83.45 |   83.45 | 100.00
 <NA> |            <NA> |      0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

Ahora con la variable educación, recodificar universitario=1

casen2022_chi$educ_sup <- rec(casen2022_chi$educacion, rec = "1:12=0;13:15=1",val.labels = c("Menos que universitaria", "Universitaria o más"))
frq(casen2022_chi$educ_sup)

e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió? (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.16 sd=0.37
Value |                   Label |      N | Raw % | Valid % | Cum. %
-------------------------------------------------------------------
    0 | Menos que universitaria | 168994 | 83.56 |   83.56 |  83.56
    1 |     Universitaria o más |  33237 | 16.44 |   16.44 | 100.00
 <NA> |                    <NA> |      0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

Veamos ahora una tabla de frecuencias cruzadas

pacman::p_load(sjPlot)
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim)

Para mayor claridad generamos porcentajes por columnas de la tabla (discriminación)

casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.col.prc=TRUE)

Y acá por filas (educación)

casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.row.prc=TRUE)

Prueba de χ2${\chi }^2$

• La prueba de χ2${\chi }^2$ (chi cuadrado) se utiliza para inferencia sobre asociación de variables categóricas en una tabla de contingencia

• χ2${\chi }^2$ se basa en un test de diferencia, donde se compara nuestra tabla de contingencia y una tabla donde no existe asociación entre variables, que representa la hipótesis nula H0$H_0$

• La lógica detrás es que si nuestra tabla es significativamente distinta de una tabla sin asociación, entonces podemos rechazar la hipóteis nula

Para simplificar, pensemos en una muestra más pequeña de 100 casos y además balanceada.

Esta tabla estaría expresando lo esperado por nuestra hipótesis (alternativa): existen diferencias al cruzar estas variables, y por lo tanto hay asociación entre educación y percepción de discriminación

Este es el otro extremo: todas las celdas tienen la misma cantidad de casos

Esta tabla expresa la hipótesis nula H0$H_0$: no existe asociación entre variables

Pasos en el cálculo de χ2${\chi }^2$

• Generación de tabla de contingencia observada en base a nuestros datos

• Generación de tabla de contingencia esperada al azar en base a nuestros datos

• Establecer la diferencia entre lo observado y lo esperado al azar

• Establecer si esta diferencia es estadísticamente significativa

Frecuencia esperada al azar en una tabla de contingencia

Nos enfocamos en la celda a, su frecuencia esperada es:

fea=(a+b)(a+c)N$$f_{e_a}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}$$

En base a los datos de nuestro ejemplo de 100 casos:

fea=(50)(50)100=2500100=25$$f_{e_a}=\frac{\left(50\right)\left(50\right)}{100}=\frac{2500}{100}=25$$

Por lo tanto, la frecuencia esperada al azar para la celda a=25

Sentido general de la prueba de χ2${\chi }^2$

• La lógica de la prueba de Chi 2 es la comparación de las frecuencias observadas (fo)$\left(f_o\right)$ en nuestra tabla y de las frecuencias esperadas (fe)$\left(f_e\right)$ por azar

• Si nuestra tabla (fo)$\left(f_o\right)$ se diferencia significativamente del azar (fe)$\left(f_e\right)$, entonces podemos rechazar la hipótesis nula y tenemos evidencia de asociación entre variables

Cálculo de frecuencias esperadas para ejemplo con CASEN

En R también es posible obtener las frecuencias esperadas por celda con la función CrossTable de la librería gmodels

gmodels::CrossTable(casen2022_chi$educ_sup,
                    casen2022_chi$discrim, 
                    expected=TRUE,
                    prop.r = FALSE, 
                    prop.c=FALSE, 
                    prop.chisq = FALSE, 
                    prop.t = FALSE)

χ2=247.46

Inferencia y χ2

• Tal como en los pasos de la inferencia para pruebas anteriores (como Z y t), para realizar la prueba de hipótesis comparamos el valor observado de χ2 con un valor crítico, que proviene de la distribución χ2

• además de especificar la probabilidad de error α, se requiere especificar los grados de libertad

Grados de libertad en χ2

• Como en la distribución t, χ2 también se ajusta por los grados de libertad, que se obtienen sumando el numero de niveles/categorías -1 de cada variable

• En nuestro ejemplo de tabla de 2x2 (dos categorías de cada variable), los grados de libertad equivalen a:

gl=(2−1)∗(2−1)=1∗1=1

Comparación valor crítico y valor estimado

• χ2 estimado: 247.46

• χ2 crítico para un α=0.05 y 1 grado de libertad: 3.84

• En el ejemplo: valor estimado χ2 > valor crítico χ2

• Por lo tanto se rechaza H0, podemos decir que hay evidencia de asociación entre percepción de discriminación y nivel educacional con un 95% de confianza

χ2 directamente en R

La función es chisq.test()

chisq.test(table(casen2022_chi$educ_sup,
                 casen2022_chi$discrim))

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity
    correction
data:  table(casen2022_chi$educ_sup, casen2022_chi$discrim)
X-squared = 247.46, df = 1, p-value < 2.2e-16

Resumen: 5 pasos inferencia para tablas cruzadas

1. Establecer las hipótesis

2. Calcular frecuencias esperadas

3. Estimar estadístico de prueba χ2

4. Establecer valor crítico de la prueba (de acuerdo a un cierto nivel de confianza y grados de libertad)

5. Contraste e interpretación

Correlación punto biserial

Es una correlación entre una variable categórica dicotómica y una variable continua

Toma los mismos valores que la correlación tradicional, donde

• -1: correlación negativa perfecta
• 0: ausencia de correlación
• +1: correlación positiva perfecta

Ejemplo

Tenemos las siguientes variables:

x <- c(0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)
y <- c(12, 14, 17, 17, 11, 22, 23, 11, 19, 8, 12)

Se utilizar la función cor.test() para calcular la correlación punto biserial entre las dos variables

cor.test(x, y)

cor.test(x, y)

    Pearson's product-moment correlation
data:  x and y
t = 0.67064, df = 9, p-value = 0.5193
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.4391885  0.7233704
sample estimates:
      cor 
0.2181635

Del output de R tenemos que:

• la correlación punto biserial es 0.218, indicando una relación positiva moderada entre ambas variables

• el valor p correspondiente es 0.5193, que no permite rechazar la hipótesis nula con un 95% de confianza ya que el valor p no es menor a 0.05

• como complemento se entrega el intervalo de confianza [-0.4391885 0.7233704], que como vemos contiene el 0, y por lo tanto con un 95% de confianza no podemos decir que las correlación es distinta de 0

Resumen general asociación bivariada y niveles de medición

ASISTENCIA